Кафедра математики

Работа кафедры математики в основном распределена между несколькими крупными научными направлениями.

1.      Направление «Асимптотические и асимптотико-численные методы в нелинейных задачах математической физики»

• Получены новые фундаментальные результаты, связанные с исследованием структуры переходных слоёв в задачах с контрастными структурами.
• Предложены новые аналитические и эффективные численные методы решения сингулярно возмущённых задач, а также новый метод асимптотического решения корректно и некорректно поставленных обратных задач восстановления параметров математических моделей математической физики.
• Предложены и исследованы новые математические модели распространения и обострения фронтов в нелинейной теории волн (совместно с кафедрой акустики), математические модели задач урбоэкологии (совместно с кафедрой биофизики), математические модели резких переходных слоёв в средах с разрывными характеристиками.
• Получила дальнейшее развитие теория контрастных структур и её приложения в теории межфазовых переходов, химической кинетике, задачах исследования магнитных полей галактик.

2.      Направление «Физика космоса»

• Разработан сценарий возникновения магнитных полей в галактиках с кольцами. Построены модели возникновения этих магнитных полей в рамках теории галактического динамо.
• Впервые выявлена галактика, магнитные рукава которой частично совпадают с газовыми, а частично находятся между ними.
• (Совместно с Институтом солнечно-земной физики (Иркутск) и Университетом Манчестера, Англия.) Раскрыт механизм обращения магнитного диполя Солнца, основанный на учете флуктуаций крупномасштабного магнитного поля Солнца. (Показано, что неисчезающее во время инверсии значение магнитного момента объясняется как крупномасштабная флуктуация, вызванная флуктуационными составляющими магнитного поля Солнца.) Тем самым разрешено серьезное противоречие между теорией цикла солнечной активности и данными астрономических наблюдений.
• (Совместно с Институтом солнечно-земной физики (Иркутск) и Пулковской обсерваторией.) На основе обширного статистического анализа данных о солнечных магнитных биполях впервые построено распределение величины, связывающей тороидальное магнитное поле Солнца с его полоидальным полем, за последние два солнечных цикла. Впервые построена широтно-временная (баттерфляй) диаграмма для тилт-угла. Эта диаграмма визуализирует один из основных факторов, определяющих возникновение солнечного цикла.
• Исследованы эффекты, возникающие в результате взаимодействия солнечных космических лучей с гелиосферным токовым слоем в солнечном ветре. Построена кинетическая самосогласованная модель гелиосферного токового слоя, в которой могут присутствовать ионы с квазиадиабатической динамикой. Показано, что гелиосферный токовый слой представляет собой сравнительно тонкую многомасштабную токовую конфигурацию, вложенную в более широкий плазменный слой.

3.      Направление «Задачи электродинамики»

• Разработана новая постановка спектральной задачи теории волноводов, позволяющая существенно снижать появление фиктивных нефизических решений, что дает возможность использовать при численной реализации экономичные лагранжевые конечные элементы.
• На основе разработанной  авторами методики создан программный комплекс для решения обратных задач синтеза волноведущих систем с метазаполнением на основе би-изотропных материалов. С помощью разработанного программного комплекса решен ряд практически важных задач, в частности,  задача синтеза прямоугольного волновода с кирально-диэлектрическим заполнением, обладающего максимальной полосой одномодового режима.
• Построены явного вида асимптотики особенности поля в окрестности металлодиэлектрических углов.
• Разработаны и реализованы  алгоритмы расчета электромагнитных полей, учитывающие сингулярное поведение поля в окрестности особых точек  (входящие ребра, кромки и т.п.) волноводов со сложной геометрий сечения, использующие построенные явного вида асимптотики.
• Разработаны и реализованы математические модели  периодических волноведущих систем прямоугольного сечения лестничного типа терагерцового диапазона,  как идеально проводящих систем, так и систем с потерями, учитывающие наличие гибридных мод.
• Проведен анализ дисперсионных характеристик волновода, работающего в терагерцовом диапазоне. В рамках данного подхода была исследована система  волноводов, представляющая большой интерес при моделировании клистронных систем терагерцового диапазона.
• Построены и исследованы некоторые модели двумерных диэлектрических гетероструктур (метаповерхностей). Поставлена и решена задача проектирования функциональных покрытий на их основе.

4.      Направление «Решение обратных и некорректно поставленных задач»

• Разработана общая теория регуляризирующих алгоритмов с апостериорной оценкой погрешности получаемого приближения для решения некорректных линейных и нелинейных задач.
• Разработаны эффективные численные методы приближенного решения и апостериорного оценивания погрешности решений некорректных обратных задач, основанные на решении специальных задач условной оптимизации.
• Распараллеленные алгоритмы применены для решения на суперкомпьютерах МГУ и персональных компьютерах двумерных обратных задач эластографии, трехмерных обратных задач восстановления распределения магнитного поля, микротомографии сланцевых структур и исследования микро- и наноструктур методом обратно рассеянных электронов в электронной микроскопии.
• Созданы эффективные численные алгоритмы онлайн-мониторинга синтеза оптических просветляющих покрытий.

5.      Направление «Физическая химия»

• На основе математического моделирования впервые получено объяснение  эффектам определяющим  зависимость коэффициентов активности электролитов от концентраций и температуры и дан алгоритм расчета коэффициентов в широком диапазоне условий с использований минимальной опытной информации, что является одной из фундаментальных задач физической химии.
• На основе математического моделирования впервые дано объяснение явлению изотермического пересыщения растворов в порах ионообменных сред,  которое оказалось связанным не с изменением термодинамических условий в порах, а эффектом динамического равновесия между объединением частиц и их распадом вблизи поверхности пор.
• Предложена и экспериментально проверена физико-математическая модель, описывающая кинетику набухания полимерных гелей при переносе их из воды в водные растворы.

6.      Направление «Теория разрушения решений задач математической физики»

• Для значительного количества нелинейных уравнений математической физики (уравнения Кадомцева—Петвиашвили, Захарова—Кузнецова, Хохлова—Заболоцкой и др.) получены результаты об их локальной (по времени) разрешимости в сочетании с результатами о возникновении режимов с обострением (разрушение решения, blow-up).
• Для некоторого класса уравнений со степенными нелинейностями найдены пограничные значения показателя степени, разделяющие режимы полного отсутствия решения и существования локального (по времени).
• Развит аналитико-численный подход к исследованию режимов с обострением в начально-краевых задачах математической физики. На базе идей Н. Н. Калиткина и соавторов разработан и реализован программный комплекс по решению нелинейных начально-краевых задач математической физики с одновременной численной диагностикой момента и характера разрушения решений.

7.      Направление «Конечно-разностные методы решения задач математической физики»

• Построены экономичные численные алгоритмы решения жёстких задач электродинамики, кинетики, диффузии и эффективный метод численного обнаружения и диагностики сингулярностей в ОДУ. (Жесткими называют задачи, которые включают процессы с сильно различающимися масштабами.) Предложены новые методы аппроксимации экспериментальных данных, измеренных с большими погрешностями, которые впервые позволили обоснованную оценку точности аппроксимаций. С помощью этих методов найдены скорости важных химических и термоядерных реакций.
• Построены детальные гидродинамические модели переноса пассивных примесей в приземном слое атмосферы. Они применены для описания потоков CO₂ и водяного пара в пределах приземного слоя атмосферы над неоднородной поверхностью с мозаичной растительностью и сложным рельефом в условиях нейтральной и неустойчивой стратификации.