РУС/ENG
Отделение прикладной математики
физического факультета МГУ

21 декабря 2016г. Доклад Кулябова Дмитрия Сергеевича «Геометрические методы в оптике и электродинамике»

Дата публикации
16.12.2016 20:25

Заседание семинара по математическим методам в естественных науках под руководством профессора Боголюбова А.Н. состоится в среду 21 декабря  2016 года в 17.00 в аудитории 4-46.

Аннотация

При развитии физики в XX веке сложилось несколько онтологических подходов, а именно: геометрический, полевой, реляционной. В рамках каждого из подходов был разработан мощный математический аппарат. Наиболее мощным автору представляется математический аппарат, разработанный в рамках геометрического подхода. Особо можно выделить формализмы дифференциальной геометрии и алгебраической топологии.

 

Для проведения расчётов в области оптики (расчёт линз, трансформационная оптика) и электродинамики в целом перспективным представляется метод геометризации уравнений Максвелла. Основная идея заключается в переводе материальных уравнений Максвелла, а именно диэлектрической и магнитной проницаемости, в эффективную геометрию пространства-времени (и вакуумные уравнения Максвелла). Это позволяет решать прямую и обратную задачи, то есть находить диэлектрическую и магнитную проницаемость по заданной эффективной геометрии (по траекториям лучей), а также находить эффективную геометрию по диэлектрической и магнитной проницаемости.

 

Автором проводится построение геометрического описания уравнений Максвелла в терминах расслоенных пространств. Проводится описание разных вариантов тензора проницаемостей и, соответственно, предлагаются варианты геометризации уравнений Максвелла. В частности, выделяется вариант геометризации на основе квадратичной метрики, приводящий к уравнениям Янга-Миллса.

 

Наиболее популярная наивная геометризация была предложена Плебаньским. При определённых ограничениях она достаточно хорошо решает задачи в своей области. Следует отметить, что в оригинальной статье приводятся лишь результирующие формулы и исключительно для декартовых систем координат. Автором проводится подробный вывод формул для наивной геометризации уравнений Максвелла, кроме того формулы выписываются для произвольной криволинейной системы координат.

 

Автором рассматривается также вариант геометризации, предложенный Таммом. Данный вариант является калибровочно-инвариантным (в отличии от геометризации Плебаньского) и имеет более широкую область применения.

 

При решении полевых задач, в частности задач электродинамики, используются лагранжев и гамильтонов формализмы. Полевой гамильтонов формализм имеет то преимущество перед лагранжевым, что имманентно содержит калибровочное условие. В то время как в лагражевом формализме калибровочное условие вводится ad hoc из некоторых внешних соображений.

 

Однако использование гамильтонового формализма в полевых задачах затруднено из-за нерегулярности полевых лагранжианов. Действительно, можно установить однозначное соответствие между гамильтонианом и лагранжианом в случае гиперрегулярного лагранжиана, что не выполняеся в калибровочно-инвариантных теориях поля. В случае нерегулярного лагранжиана применяется обычно гамильтонов формализм со связями, использование которого связано с определёнными трудностями. Предлагается переформулировка задачи для случая полей без источников, что позволяет использовать симплектический гамильтонов формализм.

 

В общем же случае необходимо использовать такой вариант лагранжевого и гамильтонового формализмов, который позволил бы работать с полевыми моделями, в частности решать задачи электродинамики. В качестве математического аппарата предлагается использовать современную дифференциальную геометрию и алгебраическую топологию, в частности теорию расслоенных пространств. Этот аппарат приводит к большей ясности в понимании математических структур, ассоциированных с физическими и техническими моделями. Использование теории расслоенных пространств позволяет углубить и расширить как лагранжев, так и гамильтонов формализмы.

ОПМ